Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C

8:25:00 PM Edit Artikel

membuktikan \int sin x dx = -cos x + C ? Tapi sekarang pada tulisan ini akan membuktikan \int cos x dx = sin x + C. Ide dan cara membuktikan sebenarnya sama dengan pembuktian pada tulisan sebelumnya. Tapi tidak ada salahnya saya tulis untuk menambah pengetahuan. Langsung saja perhatikan langkah-langkahnya.


\int cos x dx = sin x + C
turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi
\frac{d}{dx} \int cos x dx = \frac{d}{dx} cos x + C
cos x = \frac{d}{dx} sin x
cos x = \frac{d}{dx} sin x
dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian \int cos x dx = -sin x ekivalen dengan membuktikan \frac{d}{dx} sin x = cos x. Disini akan dimanfaatkan Definisi Turunan.
ambil f(x) := sin x
f’(x) = lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\frac{d}{dx} cos x = lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}
= lim_{h \to 0} \frac{cos(x).cos(h)-sin(x).sin(h)-cos(x)}{h}
= lim_{h \to 0} \frac{cos(x).cos(h)-cos(x)}{h} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}
= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}
= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} \frac{cos(h)+1}{cos(h)+1} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}
= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos^2(h)-1}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}
= cos x lim_{h \to 0} \frac{sin^2(h)}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}
= cos x lim_{h \to 0} \frac{sin(h).sin(h)}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}
= cos x . lim_{h \to 0} sin h . lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} . lim_{h \to 0} \frac{1}{cos(h)+1} – sin x . lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}
= cos x . 0 . 1 . \frac{1}{2} – sin x . 1
= -sin x
Jadi terbukti \int sin u du = -cos u + C
Previous
Next Post »
Show comments